La projection conforme de Cox

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12 juin 2017

 
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Projection Cox, aspect Sud
Philippe Rivière, 2017

Jacques-François Cox (1898-1972) est un astronome belge, qui sera recteur de l’Université libre de Bruxelles (ULB). En 1935, il rédige un article dans le Bulletin de la Classe des Sciences publié par l’Académie Royale de Belgique, où il décrit une « représentation de la surface entière de la terre dans un triangle équilatéral ».

Trois ans plus tard, Joseph Antoine Magis, calculateur à l’Observatoire royal de Belgique, en propose une formule et des tables de nombres permettant son calcul précis avec les moyens de l’époque.

Il en suggère une application, pour dessiner le Gulf stream :

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Esquisse d’une carte du Gulf stream
J. Magis, 1938

Cette projection est conforme, c’est-à-dire qu’elle conserve les angles : deux chemins qui se croisent sur la planète avec un angle donné sont représentés sur le plan par le même angle.

Cela se fait au détriment des surfaces, qui ne peuvent dès lors pas être équivalentes. Mais, comme le remarque Magis, l’altération des surfaces est moindre, dans la région centrale de la carte, que sur les projections conformes classiques (de Mercator, de Lambert, etc). « Bien qu’il ait été imaginé pour répondre à un problème théorique, conclut-il, le canevas que nous étudions présente donc un intérêt pratique en Géographie mathématique pour la représentation conforme des régions équatoriales, notamment pour l’Insulinde et aussi pour le Congo belge. » Cependant, la complexité des calculs en interdira l’emploi en pratique.

En 1976, Laurence Patrick Lee, calculateur au ministère du territoire de Nouvelle-Zélande, s’appuyant sur les travaux du géographe américain Oscar S. Adams, réussit un tour de force mathématique en proposant une approche générale des projections conformes sur les solides de Platon (le tétraèdre, le cube, etc). Son article, long de plus d’une centaine de pages, fait l’objet d’un numéro spécial de la revue Cartographica. Il montre que ces projections sont liées à une fonction elliptique de Dixon nommée sm, et produit à son tour des tables permettant d’en calculer des valeurs approchées.

En 2011, le mathématicien et chercheur en informatique Malcolm Douglas McIlroy, présente une méthode de calcul plus précise, utilisant deux séries de Taylor. C’est cette dernière méthode que nous sommes en train d’implémenter pour d3.js.

Dans une utilisation plus classique, ignorant l’Antarctique :

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Projection Cox, aspect Sud, hors Antarctique
Philippe Rivière, 2017

Et voici son aspect Nord, un peu grotesque :

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Projection Cox, aspect Nord
Philippe Rivière, 2017

En assemblant différents triangles par leurs bords, il est possible d’obtenir des effets de pavage intéressants.

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Six triangles équilatéraux font la ronde
Philippe Rivière, 2017

Bibliographie

— J. F. Cox, « Représentation de la surface entière de la terre dans un triangle équilatéral », Bulletin de la Classe des Sciences, Académie Royale de Belgique, 5, 21 : 66-71. Bruxelles, 1935. [Si vous savez comment obtenir une copie de cet article, j’en serai ravi !]

— J. Magis, « Calcul du canevas de la représentation conforme de la sphère entière dans un triangle équilatéral », Bulletin Geodésique, 247-256. Paris, 1938.

— L. P. Lee, “Conformal Projections Based On Dixon Elliptic Functions,” Cartographica : The International Journal for Geographic Information and Geovisualization, Vol. 13, # 1, June 1976.

— M. D. McIlroy, Wallpaper Maps (PDF), 2011.